Đáp án:

$A.$

Giải thích các bước giải:

$A (2; 4);B (1; 1) $

$\Delta ABC$ vuông cân tại $C$

$\Rightarrow C$ thuộc trung trực $AB$

Trung điểm $M$ của $AB: M\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right)$

$\overrightarrow{AB}=(-1;-3)$

$\overrightarrow{AB}$ là vecto pháp tuyến của đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB($đường thẳng $(d))$

Phương trình đường thẳng $(d):$

$-1\left(x-\dfrac{3}{2}\right)-3\left(y-\dfrac{5}{2}\right)=0\\\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{3}{2}\right)+3\left(y-\dfrac{5}{2}\right)=0\\ \Leftrightarrow x-\dfrac{3}{2}+3y-\dfrac{15}{2}=0\\ \Leftrightarrow x+3y-9=0\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{9-x}{3}\\ C \in (d) \Rightarrow C\left(x_0; \dfrac{9-x_0}{3} \right)\\ \overrightarrow{CA}=\left(2-x_0; 4-\dfrac{9-x_0}{3} \right)\\ \overrightarrow{CB}=\left(1-x_0; 1-\dfrac{9-x_0}{3} \right)$

$\Delta ABC$ vuông cân tại $C$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\\ \Leftrightarrow (2-x_0)(1-x_0)+\left(4-\dfrac{9-x_0}{3} \right)\left( 1-\dfrac{9-x_0}{3} \right)=0\\ \Leftrightarrow  \dfrac{10 x_0^2}{9} - \dfrac{10 x_0}{3}= 0\\ \Leftrightarrow  10 x_0^2 - 30 x= 0\\ \Leftrightarrow  10 x_0(x_0 - 3)= 0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_0=0(L)\\x_0=3\end{array} \right.\\ \Rightarrow y_0=\dfrac{9-x_0}{3}=2\\ x_0+y_0=5.$