Đáp án:

Bài 2: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Bài 3: \({V_{S.ABC}}= \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

          \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt {22} }}{{33}}a\).

Giải thích các bước giải:

Bài 2:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) (Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;OA} \right) = \angle SAO = {45^0}\).

ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = SO\) (Tam giác SOA vuông cân tại O).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Bài 3:

O là tâm của tam giác đều ABC \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O.

Tam giác ABC đều cạnh a \( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).

Lại có \(OH \bot SM \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

Ta có: \(OM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM có:

\(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{8{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }} = \dfrac{{2\sqrt {22} }}{{33}}a\).