a) Tứ giác $BHCK$ có 2 đường chéo $HK$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường

Do đó tứ giác $BHCK$ là hình bình hành

b) Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành

$\Rightarrow BK\parallel CH$

Mà $CH\bot AB$

$\Rightarrow BK\bot AB$ (đpcm)

c) Gọi $J=BC\cap HI$

Xét $\Delta BHI$ có $BJ$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên $\Delta BHI$ cân đỉnh B

$\Rightarrow BJ$ là đường phân giác của $\widehat{HBI}$

$\Rightarrow \widehat{IBC}=\widehat{HBC}$

mà $\widehat{HBC}=\widehat{KCB}$ (hai góc ở vị trí so le trong do BH//CK)

Từ 2 điều trên $\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{KCB}$ (*)

$\Delta HIK$ có $JM$ là đường trung bình của tam giác, nên $JM//IK$

Hay $BC//IK\Rightarrow BIKC$ là hình thang (**)

Từ (*) và (**) suy ra $BIKC$ là hình thang cân.

d) Tứ giác $GHCK$ có $GK\parallel HC$

Do đó $GHCK$ là hình thang

Để $GHCK$ là hình thang cân thì $\widehat{GHC}=\widehat{KCH}$

mà $\widehat{KCH}=\widehat{HBK}$ (hai góc cùng bù $\widehat{BHC}$ do $BHCK$ là hình bình hành)

Từ hai điều trên $\Rightarrow\widehat{GHC}=\widehat{HBK}$

$\Delta HJC:\widehat{HCJ}=90^o-\widehat{GHC}$ (tổng ba góc trong tam giác bằng $180^o$)

$\widehat{ABH}=\widehat{ABK}-\widehat{HBK}=90^o-\widehat{HBK}$ ($BK\bot AB$)

Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{HCJ}=\widehat{ABH}$

Mà $\Delta BCF:\widehat{FBC}=90^o-\widehat{HCJ}$

$\Delta ABE:\widehat{EAB}=90^o-\widehat{ABH}$

Từ 3 điều trên $\Rightarrow\widehat{FBC}=\widehat{EAB}$

hay $\widehat{CBA}=\widehat{CAB}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $C$

$\Delta ABC$ cân đỉnh $C $ thì $GHCK$ là hình thang cân.