Đáp án:

$P =\dfrac{11}{14}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $x$ là số học sinh có sự liên quan đến bệnh nhân Coivd-19 $(x\geqslant 10;x\in\Bbb N)$

Tổng số giáo viên và học sinh có lịch sử tiếp xúc với bệnh nhân Covid-19: $x + 3$

Số cách chọn $10$ người có liên quan đến bệnh nhân Covid-19:

$n(\Omega)= C_{x+3}^{10}$

Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được $3$ giáo viên có liên quan đến bệnh nhân Covid-19"

$\Rightarrow n(A)= C_3^3.C_x^7 = C_x^7$

Xác suất chọn được $3$ giáo viên có liên quan đến bệnh nhân Covid-19:

$P(A)= \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{C_x^7}{C_{x+3}^{10}}$

Gọi $B$ là biến cố: "Chọn được $10$ học sinh có liên quan đến bệnh nhân Covid-19"

$\Rightarrow n(B)= C_x^{10}$

Xác suất chọn được $10$ học sinh có liên quan đến bệnh nhân Covid-19:

$P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{C_x^{10}}{C_{x+3}^{10}}$

Theo đề ta có:

$\quad P(A)= 6P(B)$

$\Leftrightarrow \dfrac{C_x^7}{C_{x+3}^{10}} = 6\cdot \dfrac{C_x^{10}}{C_{x+3}^{10}}$

$\Leftrightarrow C_x^7 = 6.C_x^{10}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x!}{7!(x-7)!}=6\cdot \dfrac{x!}{10!(x-10)!}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x-7)!}{(x-10)!}= 120$

$\Leftrightarrow (x-7)(x-8)(x-9)= 120$

$\Leftrightarrow x = 13$

$\Rightarrow P(A)= \dfrac{C_{13}^7}{C_{16}^{10}}= \dfrac{3}{14}$

Ta có: $\overline{A}$ là biến cố: "Chọn được nhiều nhất $2$ giáo viên có liên quan đến bệnh nhân Covid-19"

Xác suất chọn được nhiều nhất $2$ giáo viên có liên quan đến bệnh nhân Covid-19:

$P(\overline{A})= 1 - P(A)= 1 -\dfrac{3}{14}=\dfrac{11}{14}$