$\\$

`a,`

`hat{A_1}+hat{HAC}=90^o`

`hat{C_1}+hat{HAC}=90^o`

`->hat{A_1}=hat{C_1}` 

`\triangle ABC` vuông tại `A` có `AM` là đường trung tuyến

`->AM=1/2 BC` mà `CM=1/2 BC`

`->AM=CM`

`->\triangle AMC` cân tại `M`

`->hat{A_3}=hat{C_1}` mà `hat{C_1}=hat{A_1}`

`->hat{A_1}=hat{A_3}`

`hat{A_1}+hat{HAD}=hat{BAD}`

`hat{A_3}+hat{MAD}=hat{CAD}`

Mà `hat{A_1}=hat{A_3},hat{BAD}=hat{CAD}`

`->hat{HAD}=hat{MAD}`

`->AD` là tia phân giác `hat{HAM}`

`b,`

`DE\bot AB, AF\bot AB`

`->` $DE//AF$

`DF\bot AC, AE\bot AC`

`->` $DF//AE$

Tứ giác `AEDF` có : $DE//AF, DF//AE$

`-> AEDF` là hình bình hành

`->AE=DE, AF=DF`

`-> E` nằm trên đường trung trực của `AD,F` nằm trên đường trung trực của `AD` (1)

`MD` là đường trung trực của `BC`

`->DM\bot BC` mà `AH\bot BC`

`->` $DM//AH$

`->hat{HAD}=hat{MDA}` mà `hat{HAD}=hat{MAD}`

`->hat{MAD}=hat{MDA}`

`->\triangle AMD` cân tại `M`

`->MA=MD`

`->M` nằm trên đường trung trực của `AD` (2)

(1)(2) `-> E,M,F` thẳng hàng

`c,`

`MD` là đường trung trực của `BC`

`->BD=CD`

`->\triangle BDC` cân tại `D`

`AM=1/2 BC` mà `AM=MD, BM=CM=1/2 BC`

`-> AM=MD=BM=CM=1/2 BC`

`-> DM=1/2 BC`

`\triangle BDC` có : `DM` là đường trung tuyến, `DM=1/2 BC`

`->\triangle BDC` vuông tại `D` mà `\triangle BDC` cân tại `D`

`->\triangle BDC` vuông cân tại `D`