a, Gọi ước chung lớn nhất của 15n +1 và 30n + 1 là d, ta có:

\(\left\{\begin{matrix}
15n+1&\vdots d \\ 
 30n + 1&\vdots  d 
\end{matrix}\right.\)

↔ \(\left\{\begin{matrix}
 30n+2&\vdots d (1) \\ 
 30n + 1&\vdots  d (2)
\end{matrix}\right.\)

(1) - (2) => 30n + 2 - (30n + 1) \(\vdots\) d

              => 1 \(\vdots\) d

              => d = 1

=> Phân thức \(\frac{15n +1}{30n +1}\) tối giản

b, Gọi ƯCLN của n³ + 2n và n\(^{4}\) + 3n² + 1 là d

=> \(\left\{\begin{matrix}
 n³+2n&\vdots d (*)\\ 
 n^{4} + 3n² +1&\vdots d 
\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{\begin{matrix}
 n^{4}+2n²&\vdots d(3) \\ 
 n^{4} + 3n² +1&\vdots d (4)
\end{matrix}\right.\)

(3) - (4) => n² + 1 \(\vdots\) d (**)

Lại có: Từ (*) ta có: n (n² + 2) \(\vdots\) d

=> n \(\vdots\) d hoặc n² + 2 \(\vdots\) d

TH1: n \(\vdots\) d, thay vào (**)

=> 1 \(\vdots\) d

=> d = 1

TH2: n² + 2 \(\vdots\) d

(**) => n² + 2 -1 \(\vdots\) d

=> 1 \(\vdots\) d

=> d = 1

Vậy d = 1

=> Phân thức \(\frac{n³ +2n}{n^{4}+3n² +1}\) tối giản