`a)`

Vì `ABCD` là hình bình hành

`⇒OA=OC` và `OB=OD`(tính chất hình bình hành)

Ta có:`OE=1/2OB(E` là trung điểm của `OB)`

          `OF=1/2OD(F` là trung điểm của `OD)`

          `OB=OD(cmt)`

`⇒OE=OF`

Xét tứ giác `AECF` có:

      `OA=OC(cmt)`

      `OE=OF(cmt)`

`⇒` tứ giác `AECF` là hình bình hành(tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành)(đpcm)

`b)`

Vì `ABCD` là hình bình hành

`⇒AB////CD`(tính chất hình bình hành)

Mà `K∈AB,H∈CD`

`⇒AK////CH`

Vì `AECF` là hình bình hành

`⇒AF////CE`(tính chất hình bình hành)

Mà `H∈AF,K∈CE`

`⇒AH////CK`

Xét tứ giác `AHCK` có:

     `AK////CH(cmt)`

     `AH////CK(cmt)`

`⇒` tứ giác `AHCK` là hình bình hành(tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành)

`⇒AH=CK`(tính chất hình bình hành)(đpcm)

`c)`

Ta có:`OI////CK(g``t)`

          `AH////CK(cmt)`

`⇒OI////AH`

Mà `F∈AH`

`⇒OI////FH`

Xét `ΔACH` có:

`OI////AH(cmt)`

`OA=OC(cmt)`

`⇒HI=CI(1)`

Xét `ΔDOI` có:

`OI////FH(cmt)`

`F` là trung điểm của `OD(g``t)`

`⇒H` là trung điểm của `DI`

`⇒HI=1/2DI(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒CI=1/2DI`

                       `⇒DI=2CI(đpcm)`

$\\$

`a,`

`ABCD` là hình bình hành (gt), `O` là giao của `AC,BD`

`=> O` là trung điểm của `AC,BD`

`OF=1/2 OD, OE=1/2 OB`

Mà `OD=OB` (`O` là trung điểm của `BD`)

`=>OF=OE` mà `F,O,E` thẳng hàng

`=>O` là trung điểm của `FE`

Tứ giác `AECF` có :

`O` là trung điểm của `AC,FE` (cmt)

`<=>AECF` là hình bình hành 

`b,`

$ABCD$ là hình bình hành (gt) nên $AB//CD$

`AECF` là hình bình hành (cmt) nên $AH//CK$

Tứ giác `AKCH` có :

$AK//CH (AB//CD)$

$AH//CK (AF//CE)$

`<=> AKCH` là hình bình hành

`=>AH=CK`

`c,`

$OI//CK, CK//AH$ (gt, cmt)

`=>` $OI//AH$

`\triangle DOI` có :

`F` là trung điểm của `OD` (gt)

$FH//OI (OI//AH)$

`=>H` là trung điểm của `DI`

`=>HI=1/2 DI`

`=>DI=2HI`

`\triangle AHC` có :

$OI//AH$ (cmt)

`O` là trung điểm của `AC` (cmt)

`=>I` là trung điểm của `HC`

`=>CI=HI` mà `DI=2HI` (cmt)

`=>DI=2CI`