a) Ta có:

$\begin{cases}MD\perp AB\\ME\perp AC\end{cases}\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{E}= 90^\circ$

Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{D}=\widehat{E}= \widehat{A}= 90^\circ$

Do đó $ADME$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AD = ME;\ AE = MD$

Ta có: $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{C}= 45^\circ$

$\triangle EMC$ vuông tại $E$ có $\widehat{C}= 45^\circ$

$\Rightarrow \triangle EMC$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow ME = EC$

Khi đó:

$P_{ADME}= 2(AE + ME)$

$= 2(AE + EC)$

$= 2AC$

$= 8\ cm$

b) Từ $A$ kẻ $AH\perp BC$

$\Rightarrow AH\leqslant AM$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên)

Ta có:

$ADME$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow DE = AM$

Khi đó:

$DE\ \min \Leftrightarrow AM\ \min$

$\Leftrightarrow AM = AH$

$\Leftrightarrow M\equiv H$

$\Leftrightarrow M$ là chân đường cao kẻ từ $A$ lên $BC$

Hay $M$ là trung điểm $BC$ (tính chất tam giác cân)