Đáp án: GTNN của E = 2√2 khi m = 1

Giải thích các bước giải:

x² - 2mx + 2m - 3 = 0 (*)

Δ' = (-m)² - 1.(2m - 3) = m² - 2m + 3 = (m - 1)² + 2 > 0

⇒ (*) lun có 2 nghiệm x1 # x2 với mọi m

E = |x1 - x2| > 0 ⇒ E nhỏ nhất ⇔ E² nhỏ nhất

E² = x1² + x2² - 2x1x2 = (x1 + x2)² - 4x1x2

= (- 2m)² - 4.1.(2m - 3)

= 4(m² - 2m + 3)

= 4(m - 1)² + 8 ≥ 8

E ≥ √8 = 2√2

Vậy GTNN của E = 2√2 khi 4(m - 1)² = 0 ⇔ m = 1

Đáp án:

$\begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - 2m + 3\\
 = {m^2} - 2m + 1 + 2\\
 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 2 > 0\forall m
\end{array}$

=> pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = 2m - 3
\end{array} \right.\\
E = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\\
 = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\
 = \sqrt {4{m^2} - 8m + 12} \\
 = 2\sqrt {{m^2} - 2m + 3} \\
 = 2\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 2}  \ge 2\sqrt 2 \forall m\\
 \Rightarrow GTNN:E = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow m = 1
\end{array}$