a) Ta có:

$HA = HC = \dfrac12AC$

$\Rightarrow OH\perp AC$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

Ta lại có: $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AB\perp AC$

Do đó: $OH//AB$

mà $M\in OH$

nên $OM//AB$

b) Ta có:

$\begin{cases}HA = HC = \dfrac12AC\\OH\perp AC\end{cases}$

$\Rightarrow OH$ là trung trực của $AC$

Ta lại có: $N\in OH$

$\Rightarrow NA = NC$

Xét $\triangle ONA$ và $\triangle ONC$ có:

$\begin{cases}OA = OC = R\\NA = NA \quad (cmt)\\ON:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle ONA = \triangle ONC\ (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OCN} = \widehat{OAN}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{OAN} =90^\circ\quad (OA\perp AN)$

nên $\widehat{OCN} = 90^\circ$

$\Rightarrow OC\perp CN$

$\Rightarrow CN$ là tiếp tuyến của $(O)$

c) Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

$\widehat{B} = 60^\circ$

$\Rightarrow AC = BC.\sin\widehat{B} = 2R.\sin60^\circ$

$\Rightarrow AC = R\sqrt3$

Ta có:

$\widehat{CAN} = \widehat{ABC} = 60^\circ$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

mà $\triangle ANC$ cân tại $N\ (NA = NC)$

nên $\triangle ANC$ đều

$\Rightarrow S_{ANC} = \dfrac{AC^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\left(R\sqrt3\right)^2\sqrt3}{4}$

$\Rightarrow S_{ANC} = \dfrac{3R^2\sqrt3}{4}$

~Tham khảo~

`a)`

`ΔABC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

`=> ΔABC` vuông tại `A`

Xét `ΔABC`, ta có:

`H` là trung điểm của `AC`

`O` là trung điểm của `BC`

`=> OH` là đường trung bình của `ΔABC`

`=>` $OH // AB$ (đpcm)

`b)` Ta có: $OH //AB$ (cmt)

Mà `AB` vuông góc với `AC` (cmt)

`=> OH` vuông góc với `AC`

`=> OH` là đường trung trực của `ΔABC`

`=> ON` là đường trung trực của `AC`

`=> NA = NC` (tcđtt)

Xét `ΔANO` và `ΔCNO`, ta có:

`AN = NC` (cmt)

`OA = OC = R`

`ON` chung

`=> ΔANO = CNO` (c-c-c)

`=> \hat{NAO} = \hat{NCO}` (hgtư)

`=> NCO = 90^o` hay `OC` vuông góc với `NC`

`=> NC` là tiếp tuyến của `(O)`

`c)` Ta có: `AN` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)`

`=>\hat{NAC}=\hat{ABC}=60^o`

Mà `AN=CN` (cmt)

`=>ΔACN` cân tại `N`

`=>ΔACN` đều

Lại có: `AC=BC` `sin ABC=2R`  `sin 60^o=R\sqrt{3}`

`=>NH=AH*tan NAH=(AC)/2*tan NAC`

`=>NH=(R\sqrt{3})/(2)*tan 60^o=(3R)/2`

`=>S_{ANC}=1/2 NH*AC=1/2*(3R)/2*R\sqrt{3}=(3\sqrt{3}R^2)/4`