a) Ta có:

$\begin{cases}IH\perp MN\\IK\perp MP\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ$

Xét tứ giác $MHIK$ có:

$\widehat{H} = \widehat{K} = \widehat{M} =90^\circ$

Do đó $MHIK$ là hình chữ nhật

b) Xét $\triangle MNP$ có:

$\begin{cases}IK//MN\quad (\perp MP)\\IN = IP = \dfrac12NP\end{cases}$

$\Rightarrow KM = KP = \dfrac12MP$

Xét tứ giác $MQPI$ có:

$\begin{cases}KM = KP = \dfrac12MP\\IK = KQ = \dfrac12IQ\end{cases}$

$\Rightarrow MQPI$ là hình bình hành

Lại có: $IQ\perp MP\quad (IK\perp MP;\ Q\in IK)$

Do đó $MQPI$ là hình thoi

c) Từ $I$ kẻ $ID//NE\quad (D\in QP)$

$\bullet\quad ID//NE$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{IP}{NP} = \dfrac{DP}{PE}$

mà $\dfrac{IP}{NP} = \dfrac12$

nên $\dfrac{DP}{PE} = \dfrac12$

$\Rightarrow DE = DP\qquad (1)$

$\bullet\quad ID/KE\quad (ID//NE;\ K\in NE)$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{QK}{QI} = \dfrac{QE}{QD}$

mà $\dfrac{QK}{QI}  = \dfrac12$

nên $\dfrac{QE}{QD} = \dfrac12$

$\Rightarrow QE = ED\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow QE = ED = DP$

$\Rightarrow QE = \dfrac13QP$

$\Rightarrow \dfrac{QE}{QP } = \dfrac13$