Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Hướng dẫn PP giải bằng BĐT Cô si cho các bài tương tự

( nếu ko dùng BĐT Cô si - Svacx). Mong muốn chọn

điểm rơi Cô si bằng cách chọn hệ số $ a; b$ thỏa mãn:

$ A = a^{2}(5 - 2x) + \dfrac{1}{5 - 2x} + b^{2}(3x - 2) + \dfrac{1}{3x - 2} + (2a^{2} - 3b^{2})x - (5a^{2} - 2b^{2}) (*)$

Chọn sao cho $ (2a^{2} - 3b^{2})x = 0 $ với mọi $x$
$ => 2a^{2} = 3b^{2}$

Và Khi xảy ra dấu = thì :

$  a^{2}(5 - 2x) = \dfrac{1}{5 - 2x} <=> 5 - 2x = \dfrac{1}{a} (1)$

$  b^{2}(3x - 2) = \dfrac{1}{3x - 2} <=> 3x - 2 = \dfrac{1}{b} (2)$

$ => \dfrac{5 - 2x}{3x - 2} = \dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$ => x = \dfrac{11\sqrt{6} - 18}{6} $ chính là điểm rơi cô si

Thay vào $(1); (2) $

$ a = \dfrac{3 + \sqrt{6}}{11}; b = \dfrac{2 + \sqrt{6}}{11}$

Khi đó thay $ a; b$ vào $(*)$

$A >= 2(a + b)  - (5a^{2} - 2b^{2}) $ 

$ = \dfrac{2(5 + 2\sqrt{6})}{11} - 5(\dfrac{3 + \sqrt{6}}{11})^{2} + 2(\dfrac{2 + \sqrt{6}}{11})^{2}$

$ = \dfrac{5 + 2\sqrt{6}}{11} = MinA$
Trên đây là hướng dẫn pp chọn điểm rơi

Khi làm chính thức chỉ cần trình bày từ bước thay 

$ a; b$ đã tìm được vào $(*)$

Cậu có thể áp dụng tự làm câu b) cho quen

$\begin{array}{l}
\dfrac{2}{3} < x < \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - 2 > 0\\
5 - 2x > 0
\end{array} \right.\\
A = \dfrac{1}{{3x - 2}} + \dfrac{1}{{5 - 2x}}\\
 = \dfrac{2}{{6x - 4}} + \dfrac{3}{{15 - 6x}}\\
 = \dfrac{{{{\sqrt 2 }^2}}}{{6x - 4}} + \dfrac{{{{\sqrt 3 }^2}}}{{15 - 6x}}\\
 \ge \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{6x - 4 + 15 - 6x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{11}}\left( {B - C - S} \right)\\
 \Rightarrow \min A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{11}}\\
' = ' \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{{6x - 4}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{15 - 6x}} \Leftrightarrow 15\sqrt 2  - 6\sqrt 2 x = 6\sqrt 3 x - 4\sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow 6\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)x = 15\sqrt 2  + 4\sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{{15\sqrt 2  + 4\sqrt 3 }}{{6\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{11\sqrt 6  - 18}}{6}\\
b)0 < x < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
1 - x > 0
\end{array} \right.\\
B = \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{1 - x}} = \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{{2 - 2x}} = \dfrac{{{1^2}}}{{2x}} + \dfrac{{{{\sqrt 2 }^2}}}{{1 - 2x}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}}{1} = \sqrt 2  + 1\\
\left( {B - C - S} \right)\\
 \Rightarrow \min B = \sqrt 2  + 1\\
' = ' \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{2 - 2x}} \Leftrightarrow 2 - 2x = 2\sqrt 2 x\\
 \Leftrightarrow x\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) = 2\\
 \Leftrightarrow x = \sqrt 2  - 1
\end{array}$