Ta có:

$\widehat{EAC}=\widehat{EAB} + \widehat{BAC}$

$\widehat{BAG}=\widehat{BAC} +\widehat{CAG}$

Ta lại có: $\widehat{EAB} = \widehat{CAG}= 90^\circ$

Do đó $\widehat{EAC}=\widehat{BAG}$

Xét $\triangle EAC$ và $\triangle BAG$ có:

$\begin{cases}AE = AB\quad (gt)\\\widehat{EAC}=\widehat{BAG}\quad (cmt)\\AC = AG\quad (gt)\end{cases}$

Do đó $\triangle EAC = \triangle BAG\ (c.g.c)$

$\Rightarrow EC = BG$ (hai cạnh tương ứng) $(1)$

Ta có:

$\triangle EAC = \triangle BAG\quad (cmt)$

$\Rightarrow \widehat{BGA}=\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng)

Khi đó:

$\quad \widehat{BGC} + \widehat{ECG}$

$=\widehat{BGC} + \widehat{ACE} + \widehat{ACG}$

$=\widehat{BGC} + \widehat{BGA} + \widehat{ACG}$

$=\widehat{AGC} + \widehat{ACG}$

$= 90^\circ\quad (ACFG$ là hình vuông$)$

$\Rightarrow EC\perp BG\qquad (2)$

Ta có:

$P$ là tâm hình vuông $ABDE$

$\Rightarrow PE = PB = \dfrac12BE$

$Q$ là tâm hình vuông $ACFG$

$\Rightarrow QG = QC = \dfrac12CG$

Xét $\triangle EBC$ có:

$EP = PB = \dfrac12BE$

$BM = MC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}MP = \dfrac12EC\\MP//EC\end{cases}\qquad (3)$

Xét $\triangle GBC$ có:

$QG = QC = \dfrac12CG$

$BM = MC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}MQ = \dfrac12BG\\MQ //BG\end{cases}\qquad (4)$

Từ $(1)(2)(3)(4)\Rightarrow \begin{cases}MP = MQ\\MP\perp MQ\end{cases}$

$\Rightarrow \triangle MPQ$ vuông cân tại $M$