a) Xét ΔDAH có AN vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

$⇒ΔDAH$ cân tại A

$⇒∠DAN = ∠HAN$

Tương tự có :$∠EAM = ∠MAH$

Khi đó, $∠DAN + ∠NAM+∠MAE$

$=∠NAH+∠NAM+∠MAH$

$=2.∠NAM = 2.90 = 180$ độ.

Vậy nên ba điểm D,E,A thẳng hàng.

b) Đề sai

c) Do AN đồng thời là đường trung trực

$⇒HB = DB$

Tương tự ta có:$CE=HC$

Vì vậy $BC=HC+HB=BD+CE$

$a$. Có $AN$ $⊥$ $HD$

        $N$ là trung điểm $HD$

=> $AN$ là đường trung trực của $∆HAD$

$⇒$ Góc $HAN$ $=$ góc $DAN$

$⇒$ Góc $HAM$ $=$ $1/2$ góc $HAE$ ($1$)

Chứng minh tương tự có góc $HAM$ $=$ góc $EAM$

$⇒$ Góc $HAN$ $=$ $1/2$ góc $HAD$ ($2$)

Từ ($1$) và ($2$) suy ra: góc $MAN$ $=$ $1/2$ góc $EAD$

$⇒$ Góc $EAD$ $=$ $180°$ (do $∆ABC$ vuông tại $A$)

$⇒$ đpcm

$b$. Sai đề. 

$c$. Do $AN$ đồng thời là đường trung trực. 

$⇒$ $HB$ $=$ $DB$

Tương tự ta có: $CE$ $=$ $HC$

Vì vậy $BC$ $=$ $HC$ $+$ $HB$ $=$ $BD$ $+$ $CE$