Giải thích các bước giải:

Bài 4:

a,

C là trọng tâm tam giác ABM nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_M}}}{3}\\
{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_M}}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2 = \frac{{ - 3 + 1 + {x_M}}}{3}\\
0 = \frac{{2 + \left( { - 4} \right) + {y_M}}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} =  - 4\\
{y_M} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 4;2} \right)\)

b,

N là điểm nằm trên trục Ox nên \(N\left( {a;0} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN}  = \left( {a + 3;\,\, - 2} \right) \Rightarrow AN = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + 4} \\
\overrightarrow {BN}  = \left( {a - 1;\,\,4} \right) \Rightarrow BN = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 16} 
\end{array}\)

Tam giác ABN cân tại N nên :

\(\begin{array}{l}
AN = BN\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + 4}  = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 16} \\
 \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 9 + 4 = {a^2} - 2a + 1 + 16\\
 \Leftrightarrow 8a = 4\\
 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}
\end{array}\)

Vậy \(N\left( {\frac{1}{2};0} \right)\)

Bài 5:

\(\begin{array}{l}
a,\\
\widehat B = 180^\circ  - \widehat A - \widehat C = 70^\circ \\
\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\\
 \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin 50^\circ }} = \frac{{CA}}{{\sin 70^\circ }} = \frac{6}{{\sin 60^\circ }}\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BC = \frac{{6.\sin 50^\circ }}{{\sin 60^\circ }}\\
CA = \frac{{6.\sin 70^\circ }}{{\sin 60^\circ }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BC = 4\sqrt 3 \sin 50^\circ \\
CA = 4\sqrt 3 \sin 70^\circ 
\end{array} \right.\\
b,\\
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.6.4\sqrt 3 \sin 70^\circ .\sin 50^\circ \\
 = 12\sqrt 3 \sin 70^\circ .\sin 50^\circ \\
{S_{ABC}} = \frac{{AB + AC + BC}}{2}.r\\
 \Leftrightarrow r = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB + BC + CA}} = ...\\
c,\\
{d_{\left( {B,AC} \right)}} = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AC}} = \frac{{24\sqrt 3 .\sin 70^\circ .\sin 50^\circ }}{{4\sqrt 3 \sin 70^\circ }} = 6\sin 50^\circ 
\end{array}\)