Nếu mỗi con trâu ăn gấp $3$ lần thì tổng số bó cỏ là:

$100\times3=300$ (bó)

Gọi trâu đứng là Đ, trâu nằm là N và trâu già là G

Vì có tất cả $100$ con trâu nên ta có:

$ Đ+N+G=100$

Vì mỗi trâu đứng ăn năm bó, mỗi trâu nằm ăn ba bó và  mỗi trâu già ăn $\dfrac{1}{3}$ bó nên nếu mỗi con ăn gấp $3$ lần thì trâu đứng ăn $15$ bó, trâu nằm ăn $9$ bó và trâu già ăn $1$ bó. Theo bài ra ta có:

 $Đ\times15+N\times9+G=300$

$Đ\times14+N\times8+(Đ+N+G)=300$

$Đ\times14+N\times8+100=300$

$Đ\times14+N\times8=300-100=200$

$Đ\times7+N\times4=100$ (chia cả hai vế cho $2$)

Vì $N\times4$ và $100$ đều chia hết cho $4$ nên $Đ\times7$ cũng chia hết cho $4$.Vậy số trâu đứng chia hết cho $4$.

Vì $Đ\times7$ phải nhỏ hơn $100$ nên số trâu đứng lớn nhất có thể là $14$.Do số trâu đứng chia hết cho $4$ nên ta chỉ xét các trường hợp trâu đứng là $4; 8; 12$.

-Nếu số trâu đứng là $4$ thì $4\times7+N\times4=100$ hay $N=(100-28):4=18$ .

Số trâu già khi đó là:

$100-4-18=78$ (con)

-Nếu số trâu đứng là $8$ thì $8\times7+N\times4=100$ hay $N=(100-56):4=11$ .

Số trâu già khi đó là:

$100-8-11=81$ (con)

-Nếu số trâu đứng là $12$ thì $12\times7+N\times4=100$ hay $N=(100-84):4=4$ .

Số trâu già khi đó là:

$100-4-12=84$ (con)

Vậy có ba trường hợp thỏa mãn đề bài:

-Số trâu đứng là $4$ con, trâu nằm là $18$ con và trâu già là $78$ con.

-Số trâu đứng là $8$ con, trâu nằm là $11$ con và trâu già là $81$ con.

-Số trâu đứng là $12$ con, trâu nằm là $4$ con và trâu già là $84$ con.