Giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$

Đặt $f(a,b,c)=\sqrt{7a^2-8a+3}+\sqrt{7b^2-8b+3}+\sqrt{7c^2-8c+3}-\sqrt{12(a^2+b^2+c^2)+6}$

$⇒$ Ta cần chứng minh: \[f(a,b,c) \geqslant f \left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2},c\right)\]

Đầu tiên, ta cần phải chứng minh:

\[\sqrt{7a^2-8a+3}+\sqrt{7b^2-8b+3} \geqslant \sqrt{7(a+b)^2-16(a+b)+12+\dfrac{9(a-b)^2}{2}}\]

\[⇔5(a-b)^2 \geqslant 2\left(\sqrt{7a^2-8a+3}-\sqrt{7b^2-8b+3}\right)^2\]

\[⇔5(a-b)^2 \geqslant \dfrac{2(a-b)^2(8-7(a+b))^2}{\left(\sqrt{7a^2-8a+3}+\sqrt{7b^2-8b+3}\right)^2}\]

Theo bất đẳng thức Minkowski, ta có:

\[\sqrt{7a^2-8a+3}+\sqrt{7b^2-8b+3}=\sqrt{7\left(a-\dfrac{4}{7}\right)^2+\dfrac{5}{7}}+\sqrt{7\left(b-\dfrac{4}{7}\right)^2+\dfrac{5}{7}} \ge \sqrt{7\left(a+b-\dfrac{8}{7}\right)^2+\dfrac{20}{7}}\]

Kết hợp với giả thiết $a+b+c=1,$ ta cần chứng minh:

\[5(7c^2+2c+3) \geqslant 2(1+7c)^2\]

\[\Leftrightarrow 13-18c-63c^2 \geqslant 0\]

\[\Leftrightarrow (1-3c)(13+21c) \geqslant 0\]

Điều này luôn đúng với $0 \le c \le \dfrac{1}{3}$

Để hoàn thành bước dồn biến ,ta chỉ cần chứng minh:

\[\sqrt{7(a+b)^2-16(a+b)+12+\frac{9(a-b)^2}{2}}-\sqrt{12(a^2+b^2+c^2)+6} \ge \sqrt{7(a+b)^2-16(a+b)+12}-\sqrt{6(a+b)^2+12c^2+6}\]

\[\Leftrightarrow \frac{3(a-b)^2}{\sqrt{7(a+b)^2-16(a+b)+12+\dfrac{9(a-b)^2}{2}}+\sqrt{7(a+b)^2-16(a+b)+12}}\ge \frac{4(a-b)^2}{\sqrt{12(a^2+b^2+c^2)+6}+\sqrt{6(a+b)^2+12c^2+6}}\]

Mặt khác: $6(a+b)^2+12c^2+6=6(3c^2-2c+2)$

\[⇔7(a+b)^2-16(a+b)+12=7c^2+2c+3\]

\[⇔12(a^2+b^2+c^2)+6=6(3c^2-2c+2+(a-b)^2)\]

\[⇔7(a+b)^2-16(a+b)+12+\frac{9(a-b)^2}{2}=7c^2+2c+3+\frac{9(a-b)^2}{2}\]

\[3(3c^2-2c+2)-(7c^2+2c+3)=2c^2-8c+3=2c^2+c+3(1-3c) \ge 0\]

\[⇔3(3c^2-2c+2+(a-b)^2)-\left(7c^2+2c+3+\dfrac{9(a-b)^2}{2}\right) =2c^2-8c+3-\dfrac{3(a-b)^2}{2} \ge 2c^2-8c+3-\dfrac{3(a+b-2c)^2}{2}=\dfrac{4c^2+2c+3(1-9c^2)}{2} \geqslant 0\]

mà $3\sqrt{2}>4→$ Bước dồn biến được chứng minh xong.

$→$ Ta chỉ cần chứng minh: \[\sqrt{7c^2+2c+3}+\sqrt{7c^2-8c+3} \ge \sqrt{6(3c^2-2c+2)}\]

\[\Leftrightarrow \sqrt{(7c^2+2c+3)(7c^2-8c+3)} \ge 2c^2-3c+3\]

Ta có: $(7c^2+2c+3)(7c^2-8c+3)-(2c^2-3c+3)^2=45c^4-30c^3+5c^2=5c^2(3c-1)^2 \ge 0\qquad $

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3} ; a=b=\dfrac{1}{2} , c=0$ và các hoán vị tương ứng.