$#leesubihop$

$a)$ Gọi $I$ là trung điểm của $OE$. Có $E($ và $E$ là tiếp tuyến của $(O)$ lần lượt tại $C$ và `A(gt)`

$→$ \(\left\{ \begin{array}{l}EC⊥OE\\EA⊥OA\end{array} \right.\)(T/C)

$⇔$ \(\left\{ \begin{array}{l}OE \text{ là phân giác của góc COA}\\EO \text{ là phân giác của góc AEC }\\AE=EC\end{array} \right.\) 

Có: $EC⊥OC(cmt) →\widehat{ECO}=90^o$

$→ΔECO$ vuông tại $C$

Mà $CI$ là tiếp tuyến ($I$ là trung điểm $OE$)

$→CI=\dfrac{1}{2}OE = EI=IO$ (đ/l)

Từ cmt ta có: $AI=EI=IO=\dfrac{1}{2}$

$CI=AI=EI=IO=\dfrac{1}{2}(=\dfrac{1}{2})$

$→A,E,C,O$ thuộc 1 đường tròn tâm $I$ là trung điểm $OE$

 $b)+$ Xét $ΔACB$ có $ΔACB$ nội tiếp đường tròn $(O)$ mà $AB$ là đường kính (gt)

$→ΔACB$ vuông tại $C→\widehat{ACB}=90^o→AC⊥BC⇒AC$ là đường cao

Xét tam giác vuông $DAB$ có: $\widehat{DAB}=90^o;$ đường cao $AC(cmt)$

$→BC.BD=AB^2$ (hệ thức lượng)

Mà $AB$ là đường kính theo gt $→AB=2R$

$→AB^2=4R^2$

$⇒BC .BD=4R^2(đpcm)$

$+$ Gọi `H` là giao điểm của $OE$ và $AC$

Có `OC=OA (`bán kính của `(O) → O ∈` trung trực `AC)`

$EC=EA(cmt)→ E  ∈$ trung trực `AC`

$→OE$ là đường trung trực của $AC$

$→OE⊥AC$ tại `H`

$→ \widehat{AHO}=90^o→ΔAHO$ vuông tại `H`

$→\widehat{CAO}+\widehat{O_1}=90^o$

$→ \widehat{O_1}=90^o-\widehat{CAO}$

Có $ΔACB$ vuông tại $C$ 

$→\widehat{CAO}+\widehat{B_1}=90^o$

$→\widehat{B_1}= 90^o-\widehat{CAO}$

$⇒ \widehat{O_1}=\widehat{B_1}(=90^o-\widehat{CAO})$

Mà 2 góc đó đồng vị

$⇒OE//BD(đpcm)$