Lời giải:

a) Ta có: $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$

$\Rightarrow OB\perp AB$

$\Rightarrow \triangle OAB$ vuông tại $B$

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta được:

$\quad \cot\widehat{BAO}  =\dfrac{AB}{OB}$

$\Leftrightarrow AB = OB.\cot\widehat{BAO}$

$\Leftrightarrow AB = 7.\cot35^\circ$

$\Leftrightarrow AB \approx 10\ cm$

b) Ta có:

$OH\perp BP$

$\Rightarrow OH$ là trung trực của $BP$ (mối quan hệ đường kính  -dây cung)

$\Rightarrow OA$ là trung trực của $BP$

$\Rightarrow AB = AP$

Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OAP$ có:

$\begin{cases}OB = OP = R\\AB = AP \quad(cmt)\\OA:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle OAB = \triangle OAP\ (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OPA} = \widehat{OBA} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow OP\perp AP$

$\Rightarrow AP$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $P$

c) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADB$ có:

$\widehat{A}:\ \text{góc chung}$

$\widehat{ABC} = \widehat{ADB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Do đó $\triangle ABC \backsim \triangle ADB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AB}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AB^2= AC.AD$