a) $(SAB)\cap(SAC)=SA$

$(SAB)$ và $(SAC)$ cùng $\bot(ABC)$

$\Rightarrow SA\bot(ABC)$

Do mặt phẳng cắt song song với BC và đi qua M nên mặt phẳng này cắt $(ABC)$ bằng một đường thẳng qua M và song song BC. Gọi đường thẳng song song này cắt AC tại N.

Do M là trung điểm nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó N là trung điểm AC.

Ta có: $BC\bot AB$ (giả thiết)

$BC\bot SA$ (do $SA\bot (ABC)$)

$\Rightarrow BC\bot(SAB)\Rightarrow BC\bot SB$ và có $BC\bot AB$

$(SBC)\cap(ABC)=BC$

$\Rightarrow \widehat{((SBC),(ABC))}=(SB,AB)=\widehat{SBA}=60^o$

Vậy ta tính được $SA = AB.\tan(60) = 2a\sqrt{3}$.

Vậy

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} SA . S_{ABC} = \dfrac{1}{3} . 2a \sqrt{3} . \dfrac{1}{2} . 2a . 2a = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích

$\dfrac{V_{ASMN}}{V_{ASBC}} = \dfrac{AM}{AB} . \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $V_{ASMN} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Do đó

$V_{S.BCNM} = V_{SABC} - V{SAMN} = a^3 \sqrt{3}$.

b) Từ N kẻ đường thẳng NP song song AB cắt BC tại P. KHi đó $d(AB,SN) = d(AB, (SNP) = d(A, (SNP))$, đồng thời P là trung điểm BC.

Từ A kẻ $AK \perp NP$ ($K \in NP$). Hạ $AH \perp SK$.

Khi đó ta có $NP \perp AK$ và $NP \perp SA$, do đó $NP \perp (SAK)$. Vậy $NP \perp AH$.

Lại có $AH \perp SK$ nên $AH \perp (SNP)$. Vậy $d(A, (SNP)) = AH$.

Ta tính đương AK = a. Do $ABPK$ là hình chữ nhật.

Áp dụng HTL ta có

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AS^2} + \dfrac{1}{AK^2}$

Vậy $AH = \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$

Vậy $d(AB, SN) = \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$.