Giải thích các bước giải :

Vì n là số nguyên nên 2 n + 7 , 5 n + 2là số nguyên .

Gọi d ∈ ƯC ( 2 n + 7 , 5 n + 2 )
⇒ 2 n + 7 chia hết cho d và 5 n + 2 chia hết cho d

⇒ 5 ( 2 n + 7 ) - 2 ( 5 n + 2 ) chia hết cho d ⇒ 10 n + 35 - 10 n - 4 chia hết cho d .

⇒ 31 chia hết cho d ⇒ d ∈ { 1 ; - 1 ; 31 ; -31 }

Ta có :

2 n + 7 chia hết cho 31

⇔ 2 n + 7 + 31 chia hết cho 31 

⇔ 2 n + 38 chia hết cho 31 

⇔ 2 ( n + 19 ) chia hết cho 31

Vì ( 2 ; 31 ) = 1 ⇒ n + 19 chia hết cho 31 

⇔ n + 19 = 31 k

⇔ n = 31k - 19

+ , Nếu n = 31 k - 19

⇒ 2 n + 7 = 2 ( 31 k - 19 ) + 7 = 62 k - 38 + 7 = 62 k - 31

= 31 ( 2 k - 1 ) chia hết cho 31 mà 2 n + 7 > 2 ⇒ 2 n + 7 là hợp số ( loại )

+ , Nếu n $\neq$ 31 k - 19 thì 2 n + 7 ko chia hết cho 31 .

⇒ ƯC ( 2 n + 7 , 5 n + 2 ) = { 1 ; - 1 }

⇒ $\frac{2n+7}{5n+2}$ là PSTG ( phân số tối giản )

Vậy n \ n $\neq$ 31 k - 19  thì $\frac{2n+7}{5n+2}$ là PSTG ∀ số nguyên n .

Xin hay nhất ạ . Chúc bạn học giỏi :DDDDDD

 Giả sử phân số 2n + 7/5n + 2 chưa tối giản

=> 2n + 7 và 5n + 2 có ước chung là số nguyên tố

Gọi số nguyên tố d là ước chung của 2n + 7 và 5n + 2

=> 2n + 7 ⋮ d

5n + 2 ⋮ d

=> 10n + 35 ⋮ d

10n + 4 ⋮d

=>. 31 ⋮d

Vì d là số nguyên tố, 31 ⋮ d => d = 31

*d = 31 =>. 2n + 7 ⋮ 31

Mà. 31 ⋮ 31

=>2n - 24 ⋮ 31

2(n - 12) ⋮ 31

=> n - 12 ⋮ 31 (do 2 và 31 nguyên tố cùng nhau)

=> n = 31k + 12 (k thuộc N)

Khi đó 5n + 2 = 5(31k + 12) + 2 = 155k + 62 ⋮ 31

Vậy n = 31k + 12 thì phân số chưa tối giản

=> n ≠ 31k + 12 thì phân số tối giản