Giải thích các bước giải:

 a. Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\):

Ta có: AD cạnh chung

AB=AC (gt)

DC=DB (gt)

Vậy \(\Delta ABD\) = \(\Delta ACD\) (c.c.c)

Trong \(\Delta ABC\) cân tại A, AD là đường trung tuyến đồng thời là đường cao 

Nên AD \(\perp\) BC

b. Xét hai tam giác vuông \(\Delta AKD\) và \(\Delta AHD\):

Ta có: AD cạnh chung

\(\widehat{CAD}=\widehat{BAD}\) (cm a)

Vậy \(\Delta AKD\) = \(\Delta AHD\) (cạnh huyền.góc nhọn)

Nên AK=AH (cạnh tương ứng)

Vậy \(\Delta AHK\) cân

c. Do D là trung điểm BC nên BC=2.DB

Áp dụng định lí Py-ta-go:

\(DB=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=13\) cm

BC=2.DB=2.13=26 cm

d. Do \(\Delta AHK\) cân tại A nên \(\widehat{AKH}=\widehat{AHK}=\frac{180°-\widehat{KAH}}{2}\)

Do \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{KAH}}{2}\)

Vậy \(\widehat{AKH}=\widehat{ACB}\) mà hai góc trên ở vị trí so le trong nên HK//BC

e. CM: \(\Delta DKC\) và \(\Delta DHB\):

Xét \(\Delta DKC\) và \(\Delta DHB\):

Ta có: DC=DB (gt)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân)

Vậy \(\Delta DKC\) = \(\Delta DHB\) (cạnh huyền.góc nhọn)

a) ΔABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC (t/c)

    ABC = ACB (DHNB)

Xét ΔABC và ΔACD:

AB = AC (cmt)

ABC = ACB (cmt)

DB = DC (gt)

⇒ ΔABC = ΔACD (c.g.c)

⇒ ADB = ADC (2 góc t/ư)

Mà ADB + ADC = 180o (kề bù)

⇒ ADB = ADC = 90o

⇒ AD ⊥ BC 

Vậy AD ⊥ BC.

b) ΔABC = ΔACD (cmt)

⇒ BAD = CAD (2 góc t/ư)

Xét ΔAHD và ΔAKD:

AHD = AKD (=90o)

BAD = CAD (cmt)

AD chung

⇒ ΔAHD = ΔAKD (Cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AH = AK (2 cạnh t/ư)

c) AD cắt HK tại M.

Xét ΔMAH và ΔMAK:

AH = AK (cmt)

HAM = KAM (cmt)

AM chung

⇒ ΔMAH = ΔMAK (c.g.c)

⇒ HMA = KMA (2 góc t/ư)

Mà HMA + KMA = 180o (kề bù)

⇒ HMA = KMA = 90o

⇒ AD ⊥ HK 

Mà AD ⊥ BC (cmt)

⇒ HK // BC (⊥ -> //)

⇒ ΔAHK cân tại A (t/c)