Đáp án:

Giải thích các bước giải:

- Nếu n = 1 thì T = 9 thỏa mãn. 
- Xét trường hợp n > 1 hay 
n
≥
2
 thì 
2
n
+
4
n
 chia hết cho 4, mà 
3
n
 chia cho 4 dư 1 hoặc -1 tương ứng n chẵn hoặc lẻ.

Mà một số chính phương chia cho 4 thì dư 0 hoặc 1, do đó T phải chia 4 dư 1 nên 
3
n
 chia 4 dư 1 suy ra n chẵn 

Với n chẵn: 2 chia 3 dư -1 nên 
2
n
 chia 3 dư 1, 4 chia 3 dư 1 nên 
4
n
 chia 3 dư 1, 
3
n
 chia hết cho 3. Do đó T chia 3 dư 2 (vô lí) Vì một số chính phương thì chia 3 dư 0 hoặc 1. 
Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn bài toán. 

+) Với $n=1$ ta thấy : $2^n+12^n+2195^n = 2209 $ là một số chính phương ( $-47^2$)

+) Với $n>1$ ta có

Do $n>1 $ nên $2^n > 2 $ 

Tương tự có : $12^n > 12, 2195^n > 2195 $

Mặt khác, các con số này đều lớn hơn chính nó

Do vậy , không thể tồn tại số chính phương.

Vậy $n=1$ thỏa mãn đề.