a) Ta có: $\widehat{BEC}$ và $\widehat{BDC}$ cùng nhìn $BC$ dưới một góc $90^o$

$\Rightarrow BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BC)$ (đpcm)

b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o$

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $ED$)

$\Rightarrow $ $\Delta ABD$ đồng dạng $\Delta ACE$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

$\Rightarrow AB.AE=AC.AD$ (đpcm)

c) $I$ là trung điểm cạnh $BC$,

$K$ đối xứng với $H$ qua $I\Rightarrow I$ là trung điểm cạnh $HK$

Tứ giác $BHCK$ có hai đường chéo $BC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường

$\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành

d) Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành $\Rightarrow KC\parallel BH$

Mà $BH\bot AC\Rightarrow KC\bot AC$

$\Rightarrow \Delta AKC\bot C$ 

$\Rightarrow $ tâm $O$ của đường tròn đi qua các điểm $AKC$ là trung điểm của $AK$

e) Do $O$ là trung điểm cạnh $AK$ (chứng minh trên)

$I$ là trung điểm $HK$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình $\Delta AHK$

$\Rightarrow OI\parallel AH$ (đpcm).