a) Xét $\triangle OAB$ có:

$OA = OB = AB = R$

Do đó $\triangle OAB$ đều

Ta có: $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$

$\Rightarrow AC = \sqrt{4R^2  - R^2}$

$\Rightarrow AC = R\sqrt3$

b) Ta có:

$MA = MB = \dfrac12AB$

$OA = OB = R$

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AB$

hay $OD$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow DA = DB$

Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OBD$ có:

$\begin{cases}OA = OB = R\\DA = DB\quad (cmt)\\OD:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle OAD = \triangle OBD\ (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OBD} = \widehat{OAD} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow OB\perp BD$

$\Rightarrow BD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$

Xét $\triangle ABC$ có:

$MA =MB = \dfrac12AB$

$OB = OC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow OM = \dfrac12AC = \dfrac{R\sqrt3}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OAD$ vuông tại $D$ đường cao $AM$ ta được:

$\quad OA^2 = OM.OD$

$\Rightarrow OD = \dfrac{OA^2}{OM}$

$\Rightarrow OD = \dfrac{R^2}{\dfrac{R\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow OD = \dfrac{2R\sqrt3}{3}$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad OD^2 = OA^2 + AD^2$

$\Rightarrow AD = \sqrt{OD^2 - OA^2}$

$\Rightarrow AD = \sqrt{\dfrac{4R^2}{3} - R^2}$

$\Rightarrow AD = \dfrac{R\sqrt3}{3}$