a) Xét Δ AFH vuông tại F => A, F, H thuộc đường tròn đường kính AH

ΔAGH vuông tại G => A, G, H thuộn đường tròn đường kính AH

=> Tứ giác AFHG nội tiếp đường tròn đường kính AH

CMTT => BGFC nội tiếp đường tròn đường kính BC

b) Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHG => I là trung điểm AH

M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGFC => M là trrung điểm BC

Xét ΔAHG vuông tại G, trung tuyến GI => GI = IA = IH => ΔIAG cân tại I => ˆIAG=ˆIGAIAG^=IGA^

CMTT => ˆMCG=ˆMGCMCG^=MGC^. Mà ˆMCG=ˆIAGMCG^=IAG^ (cùng phụ ˆGBCGBC^)                => ˆMGC=ˆIGAMGC^=IGA^

=> ˆIGA+ˆIGH=ˆMGC+ˆIGH=ˆIGM=90oIGA^+IGH^=MGC^+IGH^=IGM^=90o => IG ⊥ MG

=> MG là tiếp tuyến đường tròn tâm I

c) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) => ˆACK=90oACK^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ΔACK vuông tại C => ˆKAC=90o−ˆAKCKAC^=90o−AKC^

ΔABE vuông tại E => ˆEAB=90o−ˆABEEAB^=90o−ABE^ hay ˆDAB=90o−ˆABCDAB^=90o−ABC^ 

Xét đường tròn (O) có ˆABC=ˆAKCABC^=AKC^ (cùng chắn ⌢ACAC⌢)

=> 90o−ˆAKC=90o−ˆABC90o−AKC^=90o−ABC^ => ˆDAB=ˆKACDAB^=KAC^ => ⌢BD=⌢KCBD⌢=KC⌢ (góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)

=> BD = KC (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Xét ΔAKC vuông tại C, theo định lý Pytago có: AC² + KC² = AK²

Xét ΔAEC vuông tại E, theo định lý Pytago có: EA² + EC² = AC² 

ΔBED vuông tại E, theo định lý Pytago có: EB² + ED² = BD²

Mà BD = KC (cmt) => BD² = KC² => EB² + ED² = KC² 

=> EA² + EB² + EC² + ED² = AC² + KC² = AK² = (2R)² = 4R²