(BĐT Cosi với hai số `a;b\ge 0`

`a+b\ge 2\sqrt{ab}`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b`)

_______

Cần c/m: `{x^2-4x+8}/{x-2}\ge 4\ ∀x>2`

`VT (vế\  trái)={x^2-4x+8}/{x-2}`

`={x^2-4x+4+4}/{x-2}` (tách để sử dụng hằng đẳng thức)

`={(x-2)^2+4}/{x-2}` (`x^2-4x+4=(x-2)^2)`

`={(x-2)^2}/{x-2}+4/{x-2}` (tính chất `{a+b}/c=a/c+b/c)`

`=x-2+4/{x-2}` (rút gọn)

Vì `x>2` (đề bài)

`=>x-2>0`

`=>4/{x-2}>0`

Áp dụng BĐT Cosi với hai số dương `x-2; 4/{x-2}` ta có:

`\qquad x-2+4/{x-2}\ge 2\sqrt{(x-2). 4/{x-2}}` 

`<=>x-2+4/{x-2}\ge 2\sqrt{4}` (rút gọn `x-2)`

`<=>x-2+4/{x-2}\ge 4`

`=>` Bất đẳng thức được chứng minh 

$\\$

Dấu "=" xảy ra khi:

`\qquad x-2=4/{x-2}`

`<=>(x-2)^2=4` `(a=b/c<=>ac=b` với `c\ne 0)`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}x-2=2\\x-2=-2\end{array}\right.$ `(a^2=b<=>a=±\sqrt{b}\ ` với `b\ge 0)`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}x=4\ (thỏa\ mãn \ x>2)\\x=0\ (không\ thỏa\ mãn\ x>2)\end{array}\right.$`=>x=4`