Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Có hình chiếu của `M` trên `AC` là `E`

`=> ME⊥AC`

`=> \hat{MEA}=90^o`

 `ΔABC` vuông tại `A`

`=> \hat{BAC}=90^o=>\hat{DAE}=90^o `

Có hình chiếu của `M` trên `AB` là `D`

`=> MD⊥AB`

`=> \hat{ADM}=90^o`

Xét tứ giác `ADME` có:

    `\hat{ADM}=90^o(cmt)`

     `\hat{MEA}=90^o(cmt)`

      `\hat{DAE}=90^o(cmt)`

`=>` Tứ giác `ADME` là hình chữ nhật `(đpcm)`

`b)`

`N` đối xứng với `M` qua `E`

`=> ME=NE`

Vì `ADME` là hình chữ nhật `(cmt)`

`=> AD////ME`

`=> AB////ME`

Xét `ΔABC` có:

       `M` là trung điểm của `BC` (bài cho)

        `ME////AB(cmt)`

`=> E` là trung điểm của `AC`

`=> AE=EC`

Xét tứ giác `AMCN` có:

        `ME=NE(cmt`

        `AE=EC(cmt)`

        `MN∩AC` tại `E`

`=>` Tứ giác `AMCN` là hình bình hành

Mà `ME⊥AC(cmt)` hay `MN⊥AC`

`=>` Tứ giác `AMCN` là hình thoi

Câu `a)`: Áp dụng dấu hiệu tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật

Câu `b)`: Áp dụng dấu hiệu hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

a,

Xét tứ giác ` ADME` có :

$\begin{cases} MD \bot AB (\text{ gt } ) \Rightarrow \widehat{MDA} =90^o (\text{ gt } ) \\ \widehat{DAE} =90^o (\text{ gt } )\\ ME \ \bot \  AE \Rightarrow \widehat{MEA} =90^o(\text{ gt } )\end{cases}  \Rightarrow ADME \text{ là hình chữ nhật} (\text{ dhnb } )$

$\\$

b,   

Xét `\triangle ABC` có :

`AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` .

`=> AM =1/2BC = MC => \triangle AMC` cân tại `M` có đường cao `ME` 

`=> ME` đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh `AC`

`<=> E ` là trung điểm của `AC` .

Xét tứ giác `AMCN` có :

$\begin{cases} EA = EC \ ( \text{ E là trung điểm của AC } \ ) \\  ME = MN ( \text{N đối xứng với M qua E )}  \end{cases} \Rightarrow AMCN \text{ là hình bình hành (dhnb)} $

Mà `AC \bot MN = {E} <=> AMCN \text{ là hình thoi } `