Gọi số dã cho là A, theo đề bài ta có:
A=7.a+3=17.b+12=23.c+7
   Mặt khác ta có:

 A+39=7.a+3+39=17.b+12+39=23.c+7+39
         = 7.(a+6)=17.(b+3)=23.(c+2)
   Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. 
 Nhưng 7,17 và 23 đồng thời là 3 số nguyên tố cùng nhau nên :

             (A+39) và 7.17.23 hay (A+39) và  2737
Suy ra A+39=2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698
   Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737

Gọi số cần tìm là a.

Ta có:

a:7 dư 3 =>(a+4) ⋮ 7 => (a+4+35) ⋮ 7 => a+39 ⋮ 7(1)

a:17 dư 12 =>(a+5) ⋮ 17 => (a+5+34) ⋮ 17 => a+39 ⋮ 17(2)

a:23 dư 7 =>(a+16) ⋮ 23 => (a+16+23) ⋮ 23 => a+39 ⋮ 23(3)

Từ (1);(2) và (3) => a+39 ⋮ 7;17 và 23

Mà ƯCLN (7;17;23) = 1

=> a+39 ⋮ 7. 17. 23 = 2737

=> a:2737 dư 2698.

Vậy số đó chia 2737 dư 2698.