$\\$

$1,$

$D$ đối xứng $I$ qua $AC$

$\Rightarrow AC$ là đường trung trực của $DI$ 

Mà $N=AC∩DI$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $DI$ và $AC\bot DI$ tại $N$

Tứ giác $AMIN$ có :

$\widehat{AMI}=90^o\\\widehat{MAN}=90^o\\\widehat{ANI}=90^o$

$\Rightarrow AMIN$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AI=MN$

$2,$

$AMIN$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow IN//AB$

$\triangle ABC$ có :

$I$ là trung điểm của $BC,IN//AB$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AC$

Tứ giác $AICD$ có :

$N$ là trung điểm của $DI,AC$

$\Rightarrow AICD$ là hình bình hành mà $DI\bot AC$

$\Rightarrow AICD$ là hình thoi

$3,$

$AICD$ là hình vuông

$\Rightarrow \widehat{ICD}=90^o$ và $CA$ là tia phân giác $\widehat{ICD}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}.90^o=45^o\\\Rightarrow \widehat{ABC}=90^o-45^o=45^o\\\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^o$

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông cân tại $A$

Vậy $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ để $AICD$ là hình vuông

a) Ta có: ^A = ^AMI = ^INA (=90⁰)

=> AMIN là h.c.n (DH) => MN = AI (t/c hcn)(đpcm)

b) Xét tg ABC vuông tại A

có: AI là đường trung tuyến => AI = BI = BI (=1/2.BC)

=> tg ACI cân tại I 

mà IN vuông góc với AC tại N ( D đx I qua AC)

=> IN là đường trung tuyến => AN = NC 

mà ID = DN (gt); ID vuông góc với AC tại N

=> ADCI là hình thoi(dhnb hình thoi)(đpcm)

c) Để ADCI là hình vuông:

=> ^IAC = 90 độ

mà ADCI là hình thoi (pb) => ^IAN = ^NAD = ^IAC/2 = 90 độ/2 = 45 độ

mà tg ACI cân tại C (pb) => ^BCA = 45 độ

=> tg ABC vuông cân tại A thì ADCI là hình vuông (đpcm)