Bài 4:

a) Xét tứ giác AMIN có $\widehat{MAN}$ = $90^{0}$ (vì tam giác ABC vuông ở A)

$\widehat{AMI}$ = $90^{0}$ ( vì IM vuông góc với AB)

$\widehat{ANI}$ = $90^{0}$ (vì IN vuông góc với AC_

Vậy AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vuông )

b) Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi

ΔABC vuông có AI là trung tuyến nên AI = IC = $\frac{1}{2}$ BC

Do đó ΔAIC cân có đường cao IN đồng thời là trung tuyến

Lại có NI = ND (tính chất đối xứng ) nên ADCI là hình bình hành có AC ⊥ ID

Vậy tứ giác ADCI là hình thoi

c) Chứng minh $\frac{DK}{DC}$ = $\frac{1}{3}$ 

Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình ΔBKC

⇒ H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét ΔDIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH )

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) suy ra DK = KH = HC ⇒ $\frac{DK}{DC}$ = $\frac{1}{3}$