Giải thích các bước giải:

a.Ta có :
$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}(+\widehat{HAC}=90^o)$

$\to\Delta ABH\sim\Delta CAH(g.g)$

$\to\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\to AH^2=HB.HC$

b.Ta có : $CD$ là phân giác góc C
$\to\widehat{ACD}=\widehat{ECH}\to\Delta ACD\sim\Delta HCE(g.g)$

$\to \dfrac{S_{ADC}}{S_{HCE}}=\dfrac{AC^2}{HC^2}=\dfrac{AC^2}{AC^2-AH^2}$

Mà $AB=6,AC=8\to BC=10$

$AH.BC=AB.AC=2S_{ABC}\to AH=\dfrac{24}{5}$

$\to \dfrac{S_{ADC}}{S_{HCE}}=\dfrac{25}{16}$

c.Vì $CD$ là phân giác góc C
$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{CA}{CB}$

Lại có  : $AK$ là phân giác $\widehat{BAH}\to\dfrac{KH}{KB}=\dfrac{AH}{BA}$

Lại có : $\Delta BAH\sim\Delta BCA(g.g)$

$\to\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{KH}{KB}\to DK//AH$

d.Ta có :
$DK//AH\to\widehat{DAK}=\widehat{DKA}=\widehat{KAE}$

$\to ADKE$ là hình thoi

$\to KE//AB$

$\to F$ là trung điểm AK

Vì $AH\perp CK, KP\perp AC, CA=AK\to PH//AK$

Mà $Q,F,P$ thẳng hàng nên theo định lý Menelauyst(tự chứng minh) ta có :
$\dfrac{QC}{QK}.\dfrac{FK}{FA}.\dfrac{PA}{PC}=1$

$\to \dfrac{QC}{QK}.1.\dfrac{KH}{HC}=1$ (PH//AK)

$\to KQ.CH=KH.CQ$