Giải thích các bước giải:

a,

Tam giác ABC vuông tại A nên  \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Theo giả thiết, \(\left\{ \begin{array}{l}
HD \bot AB\\
HE \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {HDA} = \widehat {HEA} = 90^\circ \)

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên ADHE là hình chữ nhật.

Do đó, 2 đường chéo AH và DE bằng nhau.

Vậy \(AH = DE\)

b,

Tam giác HEC vuông tại E có trung tuyến EQ nên \(EQ = \frac{1}{2}HC = HQ = QC\)

Tam giác EHQ có \(QE = QH\) nên tam giác EHQ cân tại Q. Do đó, \(\widehat {HEQ} = \widehat {EHQ}\,\,\,\left( 1 \right)\)

ADHE là hình chữ nhật có 2 đường chéo cắt nhau tại O nên \(OA = OD = OH = OE\).

Tam giác OHE có \(OE = OH\) nên tam giác EHO cân tại O. Do đó, \(\widehat {HEO} = \widehat {EHO}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {OEQ} = \widehat {OEH} + \widehat {HEQ} = \widehat {OHE} + \widehat {EHQ} = \widehat {OHQ} = 90^\circ  \Rightarrow OE \bot EQ\)

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có \(OD \bot DP\)

Tứ giác DPQE có \(\left\{ \begin{array}{l}
DP \bot DE\\
EQ \bot DE
\end{array} \right.\) nên DEQP là hình thang vuông.

c,

O là trung điểm AH, Q là trung điểm HC nên OQ là đường trung bình trong tam giác HAC.

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}
OQ//AC\\
AC \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow OQ \bot AB\)

Tam giác ABQ có 2 đường cao AH và QO cắt nhau tại O nên O là trực tâm tam giác ABQ.

d,

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = {S_{ADHE}} + {S_{BDH}} + {S_{HEC}}\\
 = 2{S_{DHE}} + 2{S_{DPH}} + 2{S_{HEQ}}\\
 = 2.{S_{DEQP}}
\end{array}\)