Đáp án:

 a) $NC= 10 cm; $AC= 11 cm$

Giải thích các bước giải:

a)  Vì $AN$ là tia phân giác của $\widehat{BAC} $ nên 

$\frac{NC}{NB} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{4} $

Ta có $\frac{NC}{NB} = \frac{NC}{NC+NB} = \frac{NC}{BC} = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9} $

$=> NC = \frac{ BC.5}{9} = \frac{18.5}{9} = 10 cm$

b) Vì $BM $ là tia phân giác của $\widehat{ABC} $ nên 

$\frac{CM}{MA} = \frac{BC}{BA} = \frac{7}{4} $

$<=> 4MC =7MA <=> MC = \frac{7}{4} .MA $

Theo đề bài ta có 

$MC - MA = 3 => \frac{7}{4} .MA - MA = 3 => \frac{3}{4} .MA = 3$

$MA = 4 cm$

=>$ MC= 7 cm => AC = AM + MC = 7+ 4 = 11 cm$

c) 

AB,BC,ACAB,BC,AC tỉ lệ với 4,7,54,7,5 ⇔AB4=BC7=CA5(∗)⇔AB4=BC7=CA5(∗)

a) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với (∗)(∗) ta có:

MCBM=ACAB=54MCBM=ACAB=54

⇒MCBM+MC=54+5⇔MCBC=59⇒MCBM+MC=54+5⇔MCBC=59

⇒MC=59BC=59.18=10⇒MC=59BC=59.18=10 (cm)

b) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với (∗)(∗) ta có:

NCNA=BCAB=74NCNA=BCAB=74⇔NC7=NA4⇔NC7=NA4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

NC+NA7+4=NC7=NA4=NC−NA7−4NC+NA7+4=NC7=NA4=NC−NA7−4

⇔AC11=33=1⇒AC=11⇔AC11=33=1⇒AC=11 (cm)

c)

Vì AOAO là phân giác góc PACPAC, BOBO là phân giác góc PBCPBC nên áp dụng công thức đường phân giác:

OPOC=APAC=BPBCOPOC=APAC=BPBC

AD tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

OPOC=APAC=BPBC=AP+BPAC+BC=ABAC+BCOPOC=APAC=BPBC=AP+BPAC+BC=ABAC+BC

Theo (∗)⇒AC=54AB;BC=74AB(∗)⇒AC=54AB;BC=74AB

OPOC=ABAC+BC=AB54AB+74AB=AB3AB=13