`a)` Gọi `I` là trung điểm `OP`

`=>AI;EI` lần lượt là trung tuyến hai tam giác vuông `∆OAP; ∆OEP`

`=>AI=PI=OI=1/ 2 OP=EI`

`=>4` điểm `P;A;E;O` cùng thuộc đường tròn tâm `I` đường kính `OP`

$\\$

`b)` `AP;EP` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `P` (`A;E` là hai tiếp điểm)

`=>AP=EP`

Mà `AO=EO=R`

`=>OP` là đường trung trực của `AE`

`=>OP`$\perp AE$

Vì `H` là giao điểm của `OP` và `AE`

`=>OP`$\perp AE$ tại $H$ $(1)$

$\\$

Xét $∆OAP$ vuông tại $A$ có $AH\perp OP$

`=>AP^2=PH.PO` (hệ thức lượng)

$\\$

Xét $∆AEB$ có `O` là trung điểm $AB$

`=>EO` là trung tuyến $∆AEB$

Mà `EO=R; AB=2R`

`=>EO={AB}/2`

`=>∆AEB` vuông tại `E` (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>AE`$\perp BE$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>PO`//$BE$

$\\$

`c)` Ta có:

 $PO$//$BE$ (c/m trên)

$PO\perp OM$ (gt)

`=>OM`$\perp BE$

Gọi `C` là giao điểm của `OM` và `BE`

`=>OC`$\perp BE$

$\\$

Vì `OB=OE=R`

`=>∆OBE` cân tại $O$

`=>OC` vừa là đường cao và phân giác `∆BOE`

`=>OM` là phân giác `\hat{FOE}`

`=>{EM}/{MF}={OE}/{O F}` $(3)$ (tính chất phân giác trong)

$\\$

`AP;EP` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `P` (`A;E` là hai tiếp điểm)

`=>OP` là phân giác của `\hat{AOE}`

Vì `\hat{AOE}` là góc ngoài `∆FOE`

`=>OP` là phân giác góc ngoài của `∆FOE` 

`=>{PE}/{PF}={OE}/{OF}` $(4)$ (tính chất phân giác ngoài)

$\\$

Từ `(3);(4)=>{EM}/{MF}={PE}/{PF}`

`=>EM.PF=PE.MF`

$\\$

`d)` Sửa đề: vẽ $OK\perp AB$ `(K\in AB)` cắt `BP` tại `Q`, c/m `Q` là trung điểm $EK$

$\\$

Vì $PO$//$BE$ (câu b)

`=>\hat{EBK}=\hat{POA}` (hai góc đồng vị)

Xét $∆EBK$ và $∆POA$ có:

`\qquad \hat{EKB}=\hat{PAO}=90°`

`\qquad \hat{EBK}=\hat{POA}`

`=>∆EBK∽∆PAO` (g-g)

`=>{EK}/{PA}={BK}/{OA}`

`=>PA.BK=EK.OA` $(5)$

$\\$

Xét $∆BKQ$ và $∆BAP$ có:

$QK$//$PA$ (cùng $\perp AB$)

`=>{QK}/{PA}={BK}/{BA}` (hệ quả định lý Talet)

`=>PA.BK=QK.BA` $(6)$

$\\$

Từ `(5);(6)` và `BA=2OA`

`=>EK.OA=QK.BA`

`=>EK.OA=QK.2OA`

`=>EK=2QK`

`=>EQ+QK=2QK`

`=>EQ=QK`

`=>Q` là trung điểm $EK$