Đáp án:

Giải thích các bước giải: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {{m^2} + 3m + 3} \right)x + 3{\left( {{m^2} + 1} \right)^2} = 3\left[ {{x^2} - 2\left( {{m^2} + 3m + 3} \right)x + {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}} \right]\) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {{m^2} + 3m + 3} \right)^2} - {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} = 6{m^3} + 7{m^2} + 18m + 17 = \left( {m + 1} \right)\left( {6{m^2} + m + 17} \right)\) +) TH1: \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên cũng đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) +) TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > - 1\) thì \(y' = 0\) co hai nghiem phan biet \({x_1},{x_2}\). Bai toan thoa khi \({x_1} 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\\\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\\\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1\\{\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 3m + 3} \right) + 1 \ge 0\\{m^2} + 3m + 3 - 1\\{m^4} - 6m - 4 \ge 0\\{m^2} + 3m + 2 - 1\\{m^4} - 6m - 4 \ge 0\\ - 2