- Ta có: $\stackrel\frown{PA}=\stackrel\frown{PB}$ (do điểm P là điểm chính giữa của cung lớn AB)

$\Rightarrow \stackrel\frown{PQ}-\stackrel\frown{PA}= \stackrel\frown{PQ}-\stackrel\frown{PB}$

$ \Rightarrow \stackrel\frown{QA}=\stackrel\frown{QB}$

Trong đó $(O)$ có:

$\widehat{AIQ}=\widehat{QIB}$ (hai nội tiếp đường tròn chắn hai cung bằng nhau $ \stackrel\frown{PQ}=\stackrel\frown{PA}$)

$\Rightarrow IQ$ là phân giác $\widehat{BIA}$

- Xét $\Delta CIA$ và $\Delta CBP$ có:

$\widehat C$ chung

$\widehat{CAI}=\widehat{CPB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $ \stackrel\frown{BI}$)

$\Rightarrow\Delta CIA\sim\Delta CBP$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{CI}{CB}=\dfrac{CA}{CP}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow CI.CP=CA.CB$ (1)

Xét $\Delta CIK$ và $\Delta CDP$ có:

$\widehat{C}$ chung

$\widehat{CIK}=\widehat{CDP}=90^o$

$\Rightarrow\Delta CIK\sim\Delta CDP$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CK}{CP}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow CI.CP=CK.CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CK.CD=CA.CB$