Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình lần lượt là $x$ (ngày) và $y$ (ngày)

Khi đó, trong 1 ngày thì một mình người thứ nhất và một mình người thứ hai làm xong lần lượt $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{y}$ cái cửa.

Do 2 người cùng làm thì xong vc trong 2 ngày nên ta có

$\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y} = 1$

Lại có nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc nên

$\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{y} = 1$

Vậy ta có hệ

$\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y} = 1\\ \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Đặt $u = \dfrac{1}{x}, v = \dfrac{1}{y}$. Khi đó hệ trở thành

$\begin{cases} 2u + 2v = 1\\ 4u + v = 1 \end{cases}$

Giải bằng phương pháp thế ta suy ra

$u = \dfrac{1}{6}, v = \dfrac{1}{3}$

Vậy $x = 6, y = 3$

Do đó người thứ nhất làm 1 mình thì sau 6 ngày thì xong. Người thứ hai làm một mình sau 3 ngày thì xong.