`a)` Ta có:

+) `\hat{BAC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa `(O))`

`=>\hat{DAE}=90°`

$\\$

+) `\hat{BDH}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn `(I)`)

`=>HD`$\perp AB$ tại $D$

`=>\hat{ADH}=90°`

$\\$

+) `\hat{HEC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn `(K)`)

`=>HE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{AEH}=90°`

$\\$

+) Xét tứ giác `ADHE` có:

`\hat{ADH}=\hat{DAE}=\hat{AEH}=90°`

`=>ADHE` là hình chữ nhật 

$\\$

`b)` Gọi $M$ là tâm hình chữ nhật $ADHE$

`=>MA=MD=MH=ME`

`=>∆MAD` cân tại $M$

`=>\hat{MAD}=\hat{MDA}=\hat{EDA}`

 $ADHE$ là hình chữ nhật 

`=>AD`//$EH$

`=>\hat{MAD}=\hat{AHE}` (hai góc so le trong)

`=>\hat{EDA}=\hat{AHE}`

Ta có:

`\qquad \hat{AHE}=\hat{ACH}=\hat{ECB}` (cùng phụ `\hat{HAC})`

`=>\hat{EDA}=\hat{ECB}`

`=>BDEC` nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`c)` Xét $∆MDI$ và $∆MHI$ có:

`\qquad MI` là cạnh chung 

`\qquad MD=MH` (câu b)

`\qquad ID=IH` (bán kính của `(I))`

`=>∆MDI=∆MHI` (c-c-c)

`=>\hat{IDM}=\hat{IHM}=90°`

`=>DE`$\perp ID$ tại $D$

`=>DE` là tiếp tuyến tại `D` của `(I)` `(1)`

$\\$

Xét $∆MEK$ và $∆MHK$ có:

`\qquad MK` là cạnh chung 

`\qquad ME=MH` (câu b)

`\qquad KE=KH` (bán kính của `(K))`

`=>∆MEK=∆MHK` (c-c-c)

`=>\hat{KEM}=\hat{KHM}=90°`

`=>DE`$\perp KE$ tại $E$

`=>DE` là tiếp tuyến tại `E` của `(K)` `(2)`

$\\$

Từ `(1);(2)=>DE` là tiếp tuyến chung của `(I)` và `(K)`