a, Ta có :

\(\widehat{BAH}\) + \(\widehat{CAH}\) = 90 độ

\(\widehat{BAD}\) + \(\widehat{CAE}\) = 90 độ

=> \(\widehat{BAH}\) + \(\widehat{CAH}\) = \(\widehat{BAD}\)  + \(\widehat{CAE}\)

mà \(\widehat{BAH}\) = \(\widehat{BAD}\)

=> \(\widehat{CAH}\)= \(\widehat{CAE}\)

=> Ac là phân giác của \(\widehat{HAE}\)

b,

  Xét Δ BDA và ΔBHA ta có:

AB chung

\(\widehat{BAH}\) = \(\widehat{BAD}\)

=> ΔBDA = ΔBHA ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> AD = AH (1)

Tương tự ta chứng minh ΔHAC = ΔEAC ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> AH = AE (2)

Từ (1) và (2) => AE = AD (=AH)

=> A là trung điểm của DE

c, ΔBDA = ΔBHA => BD = BH

ΔHAC = ΔEAC => CE = CH

=> BD + CE = BH + CH = BC

d, AH = AE
=> ΔHAE cân tại A
=> \(\widehat{AHE}\) = \(\widehat{AEH}\) (3)

AH = AD

=> ΔHAD cân tại A

=> \(\widehat{AHD}\) = \(\widehat{ADH}\) (4)

Ta có: 

\(\widehat{ADH}\) + \(\widehat{DHE}\) + \(\widehat{HED}\) = 180 độ

hay \(\widehat{ADH}\) + \(\widehat{DHA}\) + \(\widehat{AHE}\) + \(\widehat{HED}\) = 180 độ

Áp dụng (3) và (4), => 2 .  \(\widehat{AHD}\) + 2. \(\widehat{AHE}\) = 180độ

                             => \(\widehat{AHD}\) + \(\widehat{AHE}\) = 90 độ

                            => \(\widehat{EHD}\) = 90 độ

=> HD ⊥ HE