a) Ta có:

$BH\perp AC \, (gt)$

$MF\perp BH \, (gt)$

$\Rightarrow MF//AC$

$\Rightarrow \widehat{BMF} = \widehat{BCA}$ (đồng vị)

mà $\widehat{BCA} = \widehat{CBA} \, (gt)$

nên $\widehat{BMF} = \widehat{CBA}$

hay $\widehat{BMF} = \widehat{MBD}$

Xét $ΔBDM$ và $ΔMFB$ có:

$\widehat{D} = \widehat{F} = 90^o$

$\widehat{BMF} = \widehat{MBD} \, (cmt)$

$BM:$ cạnh chung

Do đó $ΔBDM=ΔMFB$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Xét tứ giác $MEHF$ có:

$\widehat{E} = \widehat{H} = \widehat{F} = 90^o \, (gt)$

Do đó $MEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow ME=FH$

Ta lại có: $ΔBDM=ΔMFB$ (câu a)

$\Rightarrow MD = BF$ (Hai cạnh tương ứng)

Ta được:

$MD + ME = BF FH = BH$

mà $BH$ cố định

nên $MD + ME$ cố định

c) Từ $D$ kẻ $DN//AC$

$\Rightarrow \widehat{DNB} = \widehat{BCA}$ (đồng vị)

$\Rightarrow \widehat(BND} = \widehat{NBD}$

$\Rightarrow ΔDNB$ cân tại $D$

$\Rightarrow DN = DB$

mà $DB = MF$ $(ΔBDM=ΔMFB)$

$MF = HE$ ($AEHF$ là hình chữ nhật)

$HE = CK$ $(gt)$

nên $DN = CK$

Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $DK$

Xét $ΔDIN$ và $ΔCIK$ có:

$DN = CK$ $(cmt)$

$\widehat{DIN} = \widehat{CIK}$ (đối đỉnh)

$\widehat{NDI} = \widehat{CKI}$ (so le trong)

Do đó $ΔDIN=ΔCIK$ $(g.c.g)$

$\Rightarrow DI = IK$ (Hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow I$ là trung điểm $DK$

Hay $BC$ đi qua trung điểm $DK$