Bài 2

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác SAC vuông tại A.

Áp dụng Pytago ta tính đc $SC = a\sqrt{5}$

Áp dụng hệ thức lượng ta có

$SA^2 = SM.SC$

Vậy $SM = \dfrac{4a\sqrt{5}}{5}$

Do đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$ nên chiều cao là $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} . a . \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Do đó

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} . SA . S_{ABC}$

$= \dfrac{1}{3} . 2a. \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$= \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có

$\dfrac{V_{SAMN}}{V_{SABC}} = \dfrac{SN}{SB} . \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{1}{2} . \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}$

Do đó

$V_{S.AMN} = \dfrac{2}{5} V_{S.ABC}$

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích

$\dfrac{V_{M.ABC}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{MC}{SC} = \dfrac{1}{5}$

Do đó 

$V_{M.ABC} = \dfrac{1}{5} V_{S.ABC}$

Ta có

$V_{S.ABC} = V_{S.AMN} + V_{MANB} + V_{M.ABC}$

$<->V_{MANB} = V_{S.ABC} - V_{S.AMN} - V_{M.ABC}$

$<-> V_{MANB} = \dfrac{2}{5} V_{S.ABC} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{15}$