a) Ta có D, E là trung điểm AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Vậy DE//BC và $DE = \dfrac{1}{2}BC$.

Suy ra tứ giác BCED là hình thang.

b) Do F là trung điểm BC nên $BF = FC = \dfrac{1}{2} BC = DE$.

Lại có $DE//BC$ nên $DE//BF$.

Xét tứ giác DEFB có DE//BF và DE = BF. Vậy tứ giác này là hình bình hành.

c) Do DE//BC nên DE//HF, do đó tứ giác HFED là hình thang.

Xét tam giác HAC vuông tại H, có HE là trung tuyến nên $HE = EA = EC = \dfrac{1}{2} AC$.

Lại có D, F là trung điểm AB, BC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC, do đó $DF//AC$ và $DF = \dfrac{1}{2} AC$.

Vậy ta có $DF = HE = \dfrac{1}{2} AC$.

Xét hình thang HFED có DF = HE. Vậy tứ giác này là hình thang cân.

d) Để tứ giác DEFH là hình chữ nhật thì $\widehat{EFH} = 90^{\circ}$.

Vậy $EF \perp HF$ hay nói cách khác $EF \perp BC$.

Mặt khác, E và F là trung điểm AC, BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC, vậy EF//AB.

Vậy $AB \perp BC$ (từ vuông góc đến song song).

Do đó tam giác ABC là tam giác vuông tại B.