a) Xét $ΔABC$ và $ΔHBA$ có:

$\widehat{A} = \widehat{H} = 90^o$

$\widehat{B}:$ góc chung

Do đó $ΔABC \sim ΔHBA \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{AB}$

$\Rightarrow AB^2 = BC.BH$

b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12\, cm$

Áp dụng tính chất đưởng phân giác, ta được:

$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{AC - AD}$

$\Leftrightarrow AB(AC - AD) = AD.BC$

$\Leftrightarrow AD = \dfrac{AB.AC}{AB + BC} = \dfrac{9.12}{9 + 15} = \dfrac{9}{2}\, cm$

$\Rightarrow DC = AC - AD = 12 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{15}{2}\, cm$

c) Xét $ΔABD$ vuông tại $A$ có:

$\widehat{ADB} = \widehat{ADE} = 90^o - \widehat{ABD}$

mà $\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \widehat{EBH}\quad (gt)$

nên $\widehat{ADE} = 90^o - \widehat{EBH}$

Xét $ΔEBH$ vuông tại $H$ có:

$\widehat{HEB} = 90^o - \widehat{EBH}$

mà $\widehat{HEB} = \widehat{AED}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{AED} = 90^o - \widehat{EBH}$

Do đó: $\widehat{ADE} = \widehat{AED}$

$\Rightarrow ΔAED$ cân tại $A$

Ta lại có: $I$ là trung điểm cạnh đáy $DE$

$\Rightarrow AI\perp DE$

Xét $ΔABI$ và $ΔDBA$ có:

$\widehat{I} = \widehat{A} = 90^o$

$\widehat{B}:$ góc chung

Do đó $ΔABI \sim ΔDBA \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BI}{AB}$

$\Rightarrow AB^2 = BD.BI$

mà $AB^2 = BC.BH$ (câu a)

nên $BD.BI = BC.BH$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{BD} = \dfrac{BI}{BC}$

Xét $ΔBIH$ và $ΔBCD$ có:

$\widehat{B}:$ góc chung

$\dfrac{BH}{BD} = \dfrac{BI}{BC} \quad (cmt)$

Do đó $ΔBIH\sim ΔBCD\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{BIH} = \widehat{BCD}$

$\Rightarrow \widehat{BIH} = \widehat{ACB}$