Đáp án:

a) Tứ giác AQIP là hình chữ nhật

b) Tứ giác AIBM là hình thoi

c) Để tứ giác AQIP là hình vuông thì $\triangle ABC$ vuông cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác AQIP:

$\widehat{PAQ}=90^o\,\,\,(\widehat{BAC}=90^o)$

$\widehat{API}=90^o$ (gt)

$\widehat{AQI}=90^o$ (gt)

$\to$ Tứ giác AQIP là hình chữ nhật

b)

Xét $\triangle ABC$:

I là trung điểm của BC (gt)

$IP//AC\,\,\,(\bot AB)$

$\to$ IP là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ P là trung điểm của AB

Ta có: $IP\bot AB$ (gt)

$\to IM\bot AB$

Xét tứ giác AIBM:

P là trung điểm của AB (cmt)

P là trung điểm của IM (gt)

$\to$ Tứ giác AIBM là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mà $IM\bot AB$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AIBM là hình thoi

b)

Ta có: P là trung điểm của AB (cmt)

$\to AP=\dfrac{AB}{2}$

Xét $\triangle ABC$:

I là trung điểm của BC (gt)

$IQ//AB\,\,\,(\bot AC)$

$\to$ IQ là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ Q là trung điểm của AC

$\to AQ=\dfrac{1}{2}AC$

Lại có: Tứ giác AQIP là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác AQIP là hình vuông

$\to AP=AQ$

$\to AB=AC$

$\to\triangle ABC$ vuông cân tại A