1)

Ta có M thuộc đường tròn (O) đường kính $AB$, nên $\widehat{AMB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\widehat{FMB}=90^o$

Mặt khác $\widehat{FCB}=90^o$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ tứ giác $BCFM$ có $ \widehat{FMB}+\widehat{FCB}=180^o$ mà chúng ở vị trị đối nhau nên $BCFM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $(FB)$

$\Rightarrow\widehat{CBM}=\widehat{EFM}$ (vì cùng bù với $\widehat{CFM}$) (1)

Mặt khác $\widehat{CBM}=\widehat{EMF}$ (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{EFM}=\widehat{EMF}\Rightarrow\Delta EMF$ cân đỉnh E.

2) 

Gọi $H$ là trung điểm của DF

$\Rightarrow IH\bot DF$ và $\widehat{DIH}=\dfrac{\widehat{DIF}}2$ (3)

Trong đường tròn tâm (I) có: $\widehat{DMF}$ và $\widehat{DIF}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DF

$\Rightarrow\widehat{DMF}=\dfrac{DIF}2$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{DIH}=\widehat{DMF}$ hay $\widehat{DIH}=\widehat{DMA}$

Trong (O) có: $\widehat{DMA}=\widehat{DBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DA)

Từ 2 điều trên suy ra $\widehat{DBA}=\widehat{DIH}$

Vì $IH$ và $BC$ cùng vuông góc với $EC$ nên suy ra $IH//BC$

$\Rightarrow\widehat{DBA}+\widehat{HIB}=180^o$

$\Rightarrow\widehat{DIH}+\widehat{HIB}=180^o$

Vậy ba điểm $D,I,B$ thẳng hàng.

3)

Vì 3 điểm $D,I,B$ thẳng hàng nên $\widehat{ABI}=\widehat{ABD}=\dfrac12sđAD$

Mà C cố định nên D cố định nên $\dfrac12sđAD$ không đổi

Do đó $\widehat{ABI}$ có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung `BD`