Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}AM\perp BC\\MB = MC = \dfrac12BC = 4\ cm\end{cases}$

a) Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABM$ vuông tại $M$ ta được:

$\quad AB^2 = AM^2 + MB^2$

$\Rightarrow AM = \sqrt{AB^2 - MB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2}$

$\Rightarrow AM =  3\ cm$

Diện tích $\triangle ABC:$

$S_{ABC}= \dfrac12AM.BC = \dfrac12\cdot 3\cdot 8 = 12\ cm^2$

b) Ta có: $AM$ là trung tuyến

$\Rightarrow AM$ là phân giác của $\widehat{A}$

$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MAC} = 60^\circ$

Xét $\triangle MAB$ vuông tại $M$ có $\widehat{MAB} = 60^\circ$

$\Rightarrow MAB$ là nửa tam giác đều

$\Rightarrow\begin{cases}AM = \dfrac12AB =\dfrac52\ cm\\MB = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = \dfrac{5\sqrt3}{2}\ cm\end{cases}$

$\Rightarrow BC = 2MB = 5\sqrt3\ cm$

Diện tích $\triangle ABC:$

$S_{ABC}= \dfrac12AM.BC = \dfrac12\cdot \dfrac52\cdot 5\sqrt3 = \dfrac{25\sqrt3}{4}\ cm^2$

$\\$

`a,`

Kẻ `AH\bot BC` 

`\triangle ABC` cân tại `A` nên `AH` là đường trung tuyến, phân giác

`=>H` là trung điểm của `BC`

`=>BH=1/2 BC = 1/2 . 8=4cm`

`\triangle AHB` vuông tại `H` có :

`AH^2+BH^2=AB^2` (Pytago)

`=>AH^2=AB^2-BH^2=5^2-4^2=3^2`

`=>AH=3cm`

`S_{\triangle ABC}=1/2 . AH . BC = 1/2 . 3 . 8 = 12cm^2`

Vậy `S_{\triangle ABC}=12cm^2`

`b,`

`AH` là đường phân giác 

`=>hat{BAH}=1/2 hat{BAC}=1/2 . 120^o=60^o`

`=>hat{ABH}=90^o-60^o=30^o`

`\triangle ABH` vuông tại `H` có `hat{ABH}=30^o`

`=>AH=1/2 AB =1/2 . 5 = 2,5cm`

`\triangle AHB` vuông tại `H` có :

`AH^2+BH^2=AB^2` (Pytago)

`=>BH^2=AB^2-AH^2=5^2-2,5^2=18,75`

`=>BH=(5\sqrt{3})/2`

`=>BC=2 . (5\sqrt{3})/2=5\sqrt{3}cm`

`S_{\triangle ABC}=1/2 . AH . BC = 1/2 . 2,5 . 5\sqrt{3}=(25\sqrt{3})/4cm^2`

Vậy `S_{\triangle ABC}=(25\sqrt{3})/4cm^2`