a) Ta có $AB^2+AC^2=6^2+8^2=100$

Mà $BC^2=10^2=100$

$\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2$

$\Rightarrow $ Tam giác ABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)

b) Ta có $2S_{ABC}=AB⋅AC=AH⋅BC$

Hay 6.8=10AH

$\Rightarrow  AH=\dfrac{6.8}{10}=4,8$ cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BHA ta có:

$AB^2=AH^2+BH^2$

$\Rightarrow BH^2=AB^2−AH^2$

Hay $BH^2=6^2−4,8^2=12,96\Rightarrow BH=\sqrt{12,96}=3,6$cm

Ta có:

$\widehat{BAC}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o\Rightarrow $ AMNH là hình chữ nhật

$\Rightarrow $ MN = AH (Vì MN, AH là đường chéo hình chữ nhật) $\Rightarrow $ MN=AH=4,8cm

c, Gọi O là giao điểm của MN và AH

Ta có: MHNA là hình chữ nhật

⇒ MO=OA (vì hai đường chéo trong hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

⇒ tam giác MOA cân tại O

⇒ $\widehat{OMA}=\widehat{OAM}$

Ta có $\widehat{OAM}=\widehat{BCA}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

⇒ $\widehat{OMA}=\widehat{BCA}$

hay $\widehat{AMN}=\widehat{BCA}$ (đpcm)

~Chúc bạn học tốt ^^~