$\left\{\begin{matrix}3x + \left ( m - 1 \right )y = 13 \left ( 1 \right )\\ \left ( m - 1 \right )x + 12y = 24\end{matrix}\right.$

Từ $\left ( 1 \right )$ suy ra $y = \dfrac{13 - 3x}{m - 1}$, thay vào $\left ( 2 \right )$ ta có:

$\left ( m - 1 \right )x + 12.\dfrac{13 - 3x}{m - 1} = 24$

$\Leftrightarrow \left ( m - 1 \right )x + \dfrac{156 - 36x}{m - 1} = 24$

$\Leftrightarrow \left ( m - 1 \right )x + \dfrac{156}{m - 1} - \dfrac{36x}{m - 1} = 24$

$\Leftrightarrow \left ( m - 1 - \dfrac{36x}{m - 1} \right )x = 24 - \dfrac{156}{m - 1}$ $\left ( * \right )$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow$ Phương trình $\left ( * \right )$ có nghiệm duy nhất

$x = \dfrac{24 - \dfrac{156}{m - 1}}{m - 1 - \dfrac{36x}{m - 1}} = \dfrac{24m - 180}{m^{2} - 2m - 35}$

$\Rightarrow y = \dfrac{13 - 3.\dfrac{24m - 180}{m^{2} - 2m - 35}}{m - 1} = \dfrac{13m - 85}{m^{2} - 2m - 35}$

Lời giải:

a)

Để PT có nghiệm x+y=−1⇒x=−1−y. Thay vào HPT:

{3(−1−y)+(m−1)y=12 và (m−1)(−1−y)+12y=24 ⇔ {y(m−4)=15 và y(13−m)=m+23

Để HPT có nghiệm duy nhất thì:

{ m−4≠0 và 13−m≠0 và15/m−4=m+23/13m ⇒15/m−4=m+23/13−m

⇒[m=−41 và m=7

b)

HPT tương đương với:

{3x=12−(m−1)y và 3(m−1)x+36y=72 ⇒ (m−1)[12−(m−1)y]+36y=72

⇔y(m−7)(m+5)=12(m−7)(∗)

Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì (∗) phải có nghiệm y duy nhất.

⇒(m−7)(m+5)≠0⇔m≠7;m≠−5

Khi đó: y= 12/m+5y. Để y nguyên thì 12/m+5 nguyên

⇒m+5∈{±1;±2;±3;±4;±6;±12}

⇒m∈{−4;−6;−3;−7;−2;−8;−1;−9;1;−11;7;−17}

Mà m≠7;m≠−5 nên

⇒m∈{−4;−6;−3;−7;−2;−8;−1;−9;1;−11;−17}

Thử lại thấy đều thỏa mãn.

Vậy.....