Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ta có

$A = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3$

$= n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 12n + 8$

$= 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9$

$= 3(n^3 + 5n) + 9(n^2+1)$

Vậy để chứng minh $A$ chia hết cho 9 thì ta sẽ cminh $3(n^3 + 5n)$ chia hết cho 9 hay $n^3 + 5n$ chia hết cho 3.

Nếu $n$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $n^3 + 5n=n(n^2+5)$ chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9.

Giả sử $n$ chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho $n = 3k + 1$. Thay vào ta có

$n^3 + 5n = n(n^2+5)$

$= (3k+1)[(3k+1)^2 + 5]$

$= (3k+1)(9k^2 + 6k + 1 + 5)$

$= (3k+1)(9k^2 + 6k + 6)$

$= (3k+1)3(3k^2 + 2k + 2)$

Vậy $n^3 + 5n$ chia hết cho 3, do đó $3(n^3+5n)$ chia hết cho 9 nên $A$ chia hết cho 9.

Với $n$ chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho $n = 3k + 2$. Thay vào ta có

$n^3 + 5n = n(n^2 + 5)$

$= (3k+2)[(3k+2)^2 + 5]$

$= (3k+2)(9k^2 + 12k + 4 + 5)$

$= (3k+2)(9k^2 + 12k + 9)$

$= (3k+2)3(3k^2 + 4k + 3)$

Vậy $n^3 + 5n$ chia hết cho 3, do đó $3(n^3 + 5n)$ chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.

Vậy trong mọi trường hợp với $n$, A đều chia hết cho 9.